Implied volatility in the Black-Scholes model

Celem pracy jest przedstawienie pojęcia zmienności implikowanej w modelu Blacka-Scholesa.W pierwszym rozdziale omówiony został model Blacka-Scholesa, wraz z dowodem wzorów Blacka-Scholesa na ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży. Drugi rozdział zawiera dowód istnienia oraz jedyności zmienności implikowanej. Przedstawiona jest również iteracyjna metoda wyznaczania zmienności implikowanej, oparta na metodzie Newtona-Rhapsona. Ostatni rozdział poświęcony jest algorytmowi Fenglera, który pozwala wyznaczyć pozbawioną arbitrażu krzywą zmienności implikowanej na podstawie danych rynkowych. Pracę kończy przedstawienie działania algorytmu na przykładzie cen opcji na indeks WIG20.

The aim of this thesis is to present the concept of implied volatility in the Black-Scholes model. The first chapter is an introduction to the Black-Scholes model, complete with a proof of the Black-Scholes formula for the prices of European call and put options. In the second chapter, the existence and uniqueness of implied volatility is proved. An iterative method of calculating implied volatility, based on the Newton-Rhapson method, is also presented. The third and final chapter is devoted to Fengler's algorithm, which can be used to construct an arbitrage-free implied volatility curve based on market data. The algorithm's functionality is presented using data about options on the WIG20 index.