Marchenko-Pastur Theorem and Its Applications

Teoria macierzy losowych zajmuje się badaniem macierzy, których wyrazy to zmienne losowe. Istotnym wynikiem osiągniętym w tej dziedzinie nauki jest twierdzenie opublikowane przez Władimira Marczenkę i Leonida Pastura w 1967 roku. Przedstawia ono asymptotyczne zachowanie wartości własnych pewnych dużych macierzy losowych. W szczególności, zgodnie z jego tezą, wartości te są zawarte w przedziale determinowanym jedynie przez wymiary macierzy. W mojej pracy przedstawiam to twierdzenie wraz z kombinatorycznym dowodem. Pokazuję również jego zastosowanie w matematyce finansowej, które zostaje wykorzystane przy analizie rzeczywistych danych.

Random matrix theory focuses on matrices with random variable entries. An important result achieved in this field is theorem that was published by Vladimir Marczenko and Leonid Pastur in 1967. It describes asymptotic behaviour of the eigenvalues of some huge random matrices. In particular, this theorem asserts that these eigenvalues are contained in an interval determined only by the dimensions of the matrix. In my thesis I present this theorem with its combinatorial proof. I also show its application, which is used in analysis of real data.