Brouwer fixed point theorem

Tematem pracy magisterskiej jest twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. W pracy przedstawiony jest dowód twierdzenia wykorzystujący kombinatoryczny lemat Spernera. Wykazana jest również równoważność twierdzenia z twierdzeniem o grze Hex. Następnie podano dowody twierdzenia o istnieniu punktu równowagi w grach dwuosobowych oraz twierdzeń mających związek z twierdzeniem Brouwera. Wprowadzone jest także pojęcie homotopii, które umożliwia podanie kolejnych warunków równoważnych z tytułowym twierdzeniem. Na końcu podano twierdzenie, które jest uogólnieniem twierdzenia Brouwera.

The topic of the master's thesis is the Brouwer fixed-point theorem. A proof of the theorem, using Sperner's combinatorial lemma, is presented in the thesis. The equivalence of Brouwer's theorem and the Hex game theorem is also proven in the thesis. Also, proofs of the Nash equilibrium theorem and of other theorems, related to the Brouwer theorem, are presented in the thesis. The idea of homotopy is also introduced, which allows the author to present further conditions equivalent to the main theorem. At the end of the thesis a theorem generalizing Brouwer's theorem is presented.