Delay differential equation in immunology and epidemiology.

W pracy przedstawione zostaną podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych z opóźnionym argumentem, m.in twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, twierdzenia o nieujemności i rozwiązaniu wysyconym oraz najważniejsze metody badania stabilności stanów stacjonarnych. Zostanie również przedstawiony jeden ze sposobów rozwiązywania równań z opóźnieniem – metoda kroków. Następnie wiadomości te zostaną wykorzystane w analizie dwóch modeli biologicznych, w których występują równania z opóźnieniem: model Marczuka humoralnej odpowiedzi immunologicznej oraz model epidemiologiczny Kermacka – McKendricka.

In the paper it will be presented basic theory of ordinary differential equations with delayed argument, e.g. theorem on existence and uniqueness of solutions, theorem on non-negativity and saturated solution and the most important methods for testing the stability of stationary states. It will also be presented one of the ways of solving equations with delay - the method of steps. Then the information will be used in the analysis of two biological models in which there are delayed equations: Marchuk model humoral immune response and the epidemiological model Kermack - McKendrick.