Arytmetyczne własności ciągu liczb nieporządków i jego uogólnień

Liczbę wszystkich permutacji zbioru n­-elementowego, które nie posiadają punktów stałych, nazywamy n-tą liczbą nieporządków i oznaczamy ją jako D_n. Ciąg liczb nieporządków można zdefiniować rekurencyjnie: D_0=1, D_n=nD_n-1+(-1)^n, n>0. Wiadomo, że n-1|D_n dla każdej liczby naturalnej n. W pracy magisterskiej udowadniamy, że zbiór dzielników pierwszych p liczb postaci D_n/(n-1) jest nieskończony i podajemy opis waluacji p-adycznej tych liczb. Wyznaczamy wielomiany f_d pojawiające się po d-krotnym zastosowaniu rekurencji D_n=nD_n-1+(-1)^n, podajemy pewne tożsamości z nimi związane i dowodzimy ich rozkładalności na czynniki liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych. Badamy, kiedy liczba Dn jest silnią lub potęgą liczby pierwszej.Ponadto badamy arytmetyczne własności (okresowość ciągu reszt z dzielenia przez d>1, dzielniki pierwsze p, waluacje p-adyczne) pewnych uogólnień liczb nieporządków, a także liczb parzystych i nieparzystych nieporządków.

The number of all permutations of a set with n elements, which have no fixed points, we will call the n-th number of derangements and we will denote it by D_n. The sequence of numbers of derangements (or shortly the sequence of derangements) can be defined by recurrence relation: D_0=1, D_n=nD_n-1+(-1)^n, n>0. It is a well known fact that n-1|D_n for any nonnegative integer n. In the Master Thesis we prove that the set of prime divisors of numbers D_n/(n-1) is infinite and we give the description of p-adic valuation of these numbers. We obtain a family of polynomials f_d, which appear after applying d times the recurrence D_n=nD_n-1+(-1)^n. We give some identities involving these polynomials and we show that they reducible into linear factors over the field of real numbers.Moreover, we study arithmetic properties (periodicity of the sequence of remainders modulo d>1, prime divisors p, p-adic valuations) of some generalizations of numbers of derangements and numbers of even and odd derangements.