W poniższej pracy analizujemy istnienie zespolonych wartości własnych operatora Bogoliubowa-de Gennes w modelu Bosego-Hubbarda kondensatu Bosego-Einsteina poruszającego się w jednowymiarowej sieci optycznej. Istnienie takich wartości jest koniecznym warunkiem efektu typu FEL w kondensacie BE. Używając metody operator-splitting symulujemy ewolucję czasową zaburzonych modów. Pokazujemy, że eksponencjalny wzrost zaburzenia zgadza się z analitycznymi przewidywaniami dla regionu niestabilnego. W pracy także przedyskutowano i przetestowano metodę operator-splitting na kilku innych (znanych) przykładach z optyki atomowej.

In this paper we analyze existence of complex eigenvalues of Bogoliubov-de Gennes operator in Bose-Hubbard model of moving Bose-Einstein condensate on a one-dimensional optical lattice. Existence of such values is a necessary condition of FEL-like effect in BEC. We compute time evolution of perturbed modes using operator splitting technique. We show that exponential growth of the perturbation agrees with analytical prevision for unstable region. We also discuss and examine the operator splitting method on other (known) examples in atomic optics domain.