Multiplicative structure in the sets of quantum operations and bistochastic matrices

W pracy przeprowadzono analizę struktury multiplikatywnej w zbiorze akceptowalnych fizycznie ewolucji klasycznego układu stochastycznego oraz akceptowalnych fizycznie ewolucji kwantowego układu otwartego. Opisano ogólną metodę znajdowania jednoparametrowych podpółgrup (półgrupy realizowalnych fizycznie ewolucji układu). W przypadku otwartego kwantowego układu dwupoziomowego: (a) zidentyfikowano unitalne kanały będące wynikiem ciągłej ewolucji Markowowskiej, (b) zidentyfikowano unitalne kanały posiadające pierwiastek zadanego stopnia oraz (c) podano przykład kanału, który nie może być przedstawiony jako nietrywialne złożenie dwóch unitalnych kanałów. W przypadku klasycznego układu stochastycznego: (d) Dla N=3,4 podano izomorfizm wiążący macierze bistochastyczne wymiaru NxN z pewną podpółgrupą macierzy (N-1)x(N-1). Dodatkowo pokazano trywialny związek między widmem macierzy bistochastycznej, a widmem macierzy do niej izomorficznej. (e) Dla macierzy bistochastycznych dowolnego rozmiaru scharakteryzowany został sektor, w którym mnożenie jest przemienne. (f) W przypadku symetrycznych macierzy bistochastycznych 3x3 wypisane zostały półgrupy ewolucji ciągłej.

I study a multiplicative structure, both in set of legitimate evolutions of classical stochastic system and in set of legitimate evolutions of open quantum system. I propose general method of finding one-parameter subsemigroups (of the semigroup of legitimate evolutions). For two-level open quantum system I identify those unital qubit channels which (a) are the result of continuous-time Markov process, (b) can be expressed as power (of given exponent) of some channel and (c) is indivisible. In case of classical stochastic system (d) I establish isomorphism between semigroup of NxN bistochastic matrices and some subsemigroup of (N-1)x(N-1) matrices (for N=3,4). Moreover, I show the trivial relation between bistochastic matrices spectra and isomorphic matrices spectra. (e) For bistochastic matrices of any dimension I characterize the abelian subsemigroups. (f) In addition, I present some dynamical semigroups which consist of symmetric bistochastic matrices of order 3.