Error-free transformations

Nie wszystkie liczby są reprezentowane dokładnie ze względu na ograniczonedługości reprezentacji wykładnika i mantysy. Z tego samego powodu,podczas wykonywania obliczeń, tracimy pewne bity informacji. Gromadzeniesię tego rodzaju błędów, może powodować duże niedokładności wyników.Jedną z metod zmniejszania utraty informacji jest zwiększenie ilości przechowywanychdanych. Istnieje wiele bibliotek pozwalajacych na zwiększenieprecyzji liczby. Symulacja liczb o dużej precyzjibywa jednak bardzo kosztowna czasowo w porównaniu do liczb typu double,dla których obliczenia są realizowane sprzętowo.W pracy tej, skupiono się na alternatywnej technice zapewniania większejdokładności otrzymywanych wyników - transformacjach wolnych od błędów,oznaczanych również skrótem EFT (ang. Error-free transformations).Są to algorytmy, które pozwalają obliczyć dokładny błąd wykonywanych operacjikorzystając tylko z bieżącej precyzji.Praca zawiera opis podstawowych algorytmów wykorzystujących EFT.Częścią tej pracy jest również implementacja transformacji wolnych od błędów, wspołpracująca z bibliotekąnumeryczną CAPD. Przygotowanio krótnie porównanie szybkości i dokładności działania wybranych algorytmówużywających bieżącej precyzji, precyzji zwiększonej za pomocą biblioteki GMP oraz algorytmów korzystającychz precyzji bieżącej i wykorzystujących EFT. Przedstawiony został również eksperyment polegający na zastosowaniutransformacji wolnych od błędów do zwiększenia dokładności numerycznegocałkowania równań równiczkowych.Symulowanie K-krotnej precyzji za pomocą EFT okazało się być efektywne czasowo,w porównaniu do rozwiązania używającego GMP, dla niewielkich K.

Not all numbers are represented accurately due to limitedlength exponent and mantissa representation. For the same reason,when performing the calculations, we lose some bits of information. Cumulation ofthis kind of errors, may result in large inaccuracies in the results.One method of reducing the loss of information is to increase the amount of storeddata. There are many libraries for increasingprecision. Simulation of high-precision numbers is very time consuming as compared to the numbers of type double(implemented in hardware).In this paper, we focus on an alternative solution to provide betteraccuracy of the results - error-free transformations (EFT).Error-free transformations are algorithms that allow you to calculate the exact error of operationsusing only the current accuracy.This paper contains a description of the basic algorithms using EFT.There is also implementation of error-free transformation working with thenumerical library CAPD attached to this paper.The paper contains raports with speed and accuracy of certain algorithmsusing the current precision, accuracy increased with GMP library and algorithms usingthe accuracy of current and using EFT.Following experiment has been described.Error-free transformation was used to improve the accuracy of numericalintegration of differential equations.Simulating a K-fold precision using EFT proved to be efficient in time,compared to the solution using the GMP for small K.