Inequalities between probabilities in the binomial distribution and their approximations based on the Central Limit Theorem

The main purpose of this thesis is to present Slud's results concerning approximations of the tail and individual probabilities in the binomial distribution. We begin with a series of problems and tables, which are designed to show what type of relations between precise values and their approximations can be expected. We prove that under certain conditions, the probability of at least k successes in n independent Bernoulli trials with success probability p is no less than the approximation obtained from the Central Limit Theorem. Moreover, we present an application of the above results in statistics. The paper contains also two appendices. The first one presents the Lindeberg-Lévy's Central Limit Theorem, while the second appendix is devoted to the Berry-Esséen theorem and the latest results strengthening his thesis.

Głównym celem pracy jest zaprezentowanie wyników Sluda dotyczących oszacowań prawdopodobieństw ogonów oraz prawdopodobieństw indywidualnych w rozkładzie dwumianowym. Zaczynamy od serii zadań oraz tabel, które mają na celu ukazać czytelnikowi jakiego typu relacji, pomiędzy wartościami dokładnymi a ich aproksymacjami, należy się spodziewać. Następnie dowodzimy, że przy pewnych warunkach prawdopodobieństwo co najmniej k sukcesów w n niezależnych próbach Bernoullego z prawdopodobieństwem sukcesu p jest nie mniejsze niż jego przybliżenie otrzymane na podstawie Centralnego Twierdzenia Granicznego. W pracy zamieszczamy również przykład zastosowania powyższych wyników w statystyce oraz dwa dodatki. Pierwszy z nich prezentuje Centralne Twierdzenie Graniczne w ujęciu Lindeberga-Lévy'ego, natomiast drugi dodatek poświęcony jest twierdzeniu Berry'ego-Esséena oraz najnowszym wynikom wzmacniającym jego tezę.