Detekcja horyzontu zdarzeń

Jednym z najbardziej intrygujących przewidywań Ogólnej Teorii Względności Einsteina jest istnienie czarnych dziur. Przez wiele lat obiekty te były traktowane jedynie jako matematyczne artefakty teorii Einsteina. Astronomia powoli dostarczała dowodów na ich istnienie. Obecnie czarne dziury są standardowymi obiektami astronomicznymi: detekcja fal grawitacyjnych z kolizji czarnych dziur jest nową, szybko rozwijającą się gałęzią astronomii; w marcu 2019 przedstawiony został pierwszy obraz czarnej dziury. Właściwością która definiuje czarne dziury jest istnienie 'matematycznych' hiperpowierzchni zwanych horyzontami zdarzeń. Dla obserwatora znajdującego się na zewnątrz czarnej dziury jest to ostateczna granica - po jej przekroczeniu nie ma już powrotu.Matematyczne wyznaczanie horyzontów zdarzeń dla zadanego rozwiązania równań Einsteina jest zadaniem nietrywialnym. W swojej pracy przedstawiam dwie metody matematycznej detekcji horyzontów zdarzeń stacjonarnych czarnych dziur. Pierwsza metoda opiera się na tzw. niezmiennikach Cartana, które związane są z pewnymi wyróżnionymi kierunkami w czasoprzestrzeni (tzw. WANDsy - Weyl aligned null directions). Druga metoda polega na zastosowaniu skalarnych, wielomianowych niezmienników (SPI - Scalar Polynomial Invariants). Do tej pory obie metody sprawdzane były przez innych autorów na wybranych ścisłych rozwiązaniach równań Einsteina. Głównym celem tej pracy jest rozszerzenie tych testów na rozwiązania, które nie były jeszcze badane w tym kontekście.Te rozwiązania to: Czarny Saturn oraz czarna dziura Pomeransky'ego-Senkov'a. W mojej pracy zrobiłem istotny krok w kierunku tego celu. Wyprowadzone zostały odpowiednie równania i wzory a problem detekcji horyzontu zdarzeń został sformułowany w ścisły, matematyczny sposób. Pokazałem, że zbiór równań potrzebnych do obliczenia WANDsów dla obu rozważanych rozwiązań jest niezwykle skomplikowany. Wyliczone zostały również skalarne wielomianowe niezmienniki (SPI). Podobnie jak równania na WANDsy, niezmienniki skalarne okazały się zbyt skomplikowane, aby analizować je w sposób ścisły, więc konieczne okazało się podejście numeryczne. Moja praca dostarcza niezbędne wzory oraz ukazuje skalę problemu. Stanowi ona punkt wyjścia do dokończenia testu obu metod detekcji na Czarnym Saturnie oraz rozwiązaniu Pomeranski'ego-Senkov'a - zagadnienie, które wciąż jest otwarte i wymaga dalszych badań.

One of the most intriguing predictions of Einstein’s General Relativity is existenceof black holes. For many years, these objects were considered to be nothing morethan mathematical artifacts of Einstein’s theory. The astronomical evidence wasgrowing slowly. Nowadays, black holes are not exotic anymore. They are standardastronomical objects: detections of gravitational radiation from black holes’ collisionis a fast growing new branch of astronomy; the first image of a black hole waspresented in April 2019. The defining property of a black hole is the existence of a‘mathematical’ hypersurface called an event horizon. For the observer external tothe black hole, it is a final boundary — whatever crosses it, there is no return.In the realm of mathematical relativity finding an event horizon for a givensolution to Einstein equations is a non-trivial task. In this thesis, two methods ofmathematical detection of stationary black hole event horizons are described. Firstmethod relies on so called Cartan Invariants which are related to Weyl aligned nulldirections (WANDs). Second method uses so called Scalar Polynomial Invariants(SPI). So far, both methods have been tested by other authors on some knownexact black hole solutions to Einstein’s equations. The main aim of this thesis isto extend these tests to black hole solutions which has been not investigated inthis context before. These solutions are: the Black Saturn and the Pomeransky-Sen’kov black hole. In my thesis, I made an important step towards this goal. The appropriate equations and formulas have been derived and the problem of horizondetection was formulated mathematically in an explicit form. I showed that the setof equations which is needed to find Weyl aligned null directions for both solutionsis extremely complicated. Similarly, the formulas for Scalar Polynomial Invariantswhich has been derived are too complicated to be investigated analytically and onemust resort to numerics. My thesis provides necessary formulas, reveals the scaleof the problem and defines the setting for testing both methods on the Black Saturnand the Pomeransky-Sen’kov black hole — a task which remains open and needsfurther investigation.