Holograficzne podejście do problemu: niezmienniczość względem transformacji zmiany skali a symetria konforemna

Niniejsza praca magisterska dokona przeglądu i zajmie się problemem klasyfikacji pomiędzy teoriami pola niezmienniczymi względem transformacji zmiany skali (SFT) i konformalnymi teoriami pola (CFT), z wykorzystaniem efektywnego podejścia holograficznego.Konforemne teorie pola (CFT) odgrywają ważną rolę w wielu obszarach współczesnej fizyki matematycznej, dostarczając jednocześnie wielu rozwiązywalnych modeli (np. modeli minimalnych), co z kolei pogłębia nasze zrozumienie podstawowej struktury kwantowej teorii pola (QFT). Wiele konkretnych zastosowań obejmuje: opis teorii strun, opis zjawisk krytycznych w statystycznej teorii pola, punkty stałe przepływów RG oraz korespondencja AdS/CFT (która zapewnia nam konkretną realizację zasady holograficznej). Co więcej, uogólnienie słynnego twierdzenia Colemana-Manduli stwierdza, że ​​(dla d >= 3) grupa konforemna jest maksymalnie rozszerzoną bozonową symetrią czasoprzestrzeni dla cząstek bezmasowych. Symetrie (i ich łamanie) zapewniają nam bardzo ogólne i potężne schematy organizacyjne. Dobrze znane twierdzenie c Polczyńskiego-Zamolodchikowa stwierdza, że ​​(przy kilku założeniach technicznych) w d = 2 SFT koniecznie posiadają rozszerzoną symetrię konforemną. Naturalnie pojawia się pytanie, czy podobne wyniki można uzyskać dla wyższych wymiarów. Korespondencja AdS/CFT, (domniemana) dualność w swojej „słabej” formie zapewnia nam możliwość badania silnie sprzężonych teorii pola przy użyciu (klasycznej) grawitacji w czasoprzestrzeniach asymptotycznie AdS. Została ona z powodzeniem zastosowana do problemu: niezmienność względem transformacji zmiany skali a symetria konformalna, której kulminacją jest holograficzne twierdzenie c.Główne wyniki pracy, wykraczające poza holograficzne twierdzenie c, to: 1. Ustalam, że nie znikający tensor Weyla stanowi barierę dla istnienia izometrii typu K (interpretowanej jako brak niezmienności konforemnej w domniemanej dualnej kwantowej teorii pola (QFT)). 2. Identyfikacja podzbioru geometrii wspierających izometrię typu D (interpretowaną jako niezmienność przy dylatacjach).oba dowiedzione dla pewnej klasy 4-wymiarowych czasoprzestrzeni (klasa ta obejmuje między innymi AdS_{2+1} x S^{1}). Przypuszczam również, że wyniki te stanowią pierwszy krok w dowodzie twierdzenia niepozwalającego na obecność niezmienności względem skali oraz symetrii Poincare bez rozszerzenia do pełnej symetrii konforemnej w holografii.

This thesis will review and address the classification problem between Scale Invariant Field Theories (SFTs) and Conformally Invariant Field Theories (CFTs), utilizing a bottom-up holographic approach.Conformal field theories (CFTs) play a major role in many areas of modern mathematical physics, while simultaneously providing us with many solvable models (ex. minimal models) which in turn deepen our understanding of the basic structure of QFTs. Many concrete applications include: a worldsheet description of string theory, critical phenomena in statistical field theory, scale-invariant fixed points of RG flows, and AdS/CFT correspondence (which provides us with the concrete realization of the holographic principle). Furthermore, the generalization of the celebrated Coleman-Mandula theorem states that (for d >= 3) conformal group is the maximally enhanced bosonic symmetry of spacetime for massless particles. Symmetries (and their breaking) provide us with very general and powerful organizational schemes. The well-known Polchynski-Zamolodchikov c-theorem states that (under a few technical assumptions) in d = 2 SFTs necessarily possess enhanced conformal symmetry. The natural question arises, whether similar results can be established for higher dimensions. AdS/CFT correspondence, the (conjectured) duality in its ``weak" form provides us with the possibility of studying strongly coupled field theories using (classical) gravitational physics in asymptotically AdS spacetimes. It has been successfully applied to the problem of Scale vs Conformal invariance, culminating in the holographic c-theorem.The main results of the thesis, going beyond the holographic c-theorem, are:1. I establish that the non-vanishing Weyl tensor forms an obstruction to the existence of K-type isometries (interpreted as a lack of conformal invariance in the putative dual QFT).2. Identification of the subset of geometries supporting D-type isometry (interpreted as an invariance under dilatations).both for the class of 4-dimensional warped product spacetimes (which includes AdS_{2+1} x S^1. I also conjecture that these results are the first step in the proof of the no-go theorem, not allowing for a (continuous scale + Poincare) invariance without conformal invariance in holography.