Some topological and semi-algebraic aspects of Kuratowski convergence

Podajemy definicję zbieżności Kuratowskiego zbiorów w przestrzeni topologicznej i dowodzimy jej podstawowych własności. Konieczność dodatkowych założeń w pewnych momentach uzasadniamy przykładami.Badamy przy jakich założeniach o przestrzeni topologicznej istnieją metryka i topologia na rodzinie zbiorów domkniętych zgodne ze zbieżnością Kuratowskiego. Prezentujemy dobrze znane wyniki w tym obszarze oraz rozwiązujemy problem dla przestrzeni Hausdorffa z drugim aksjomatem przeliczalności. Podajemy też przykład przestrzeni, dla której istnieje topologia zgodna ze zbieżnością Kuratowskiego, ale nie istnieje taka metryka.Podajemy pewne uogólnienia znanych wyników dotyczących granicy ciągu zbiorów spójnych i stosujemy je do uzyskania wyników w geometrii semi-algebraicznej na płaszczyźnie rzeczywistej. Dowodzimy, że granica ciągu zbiorów algebraicznych o wspólnie ograniczonych stopniach jest zbiorem semi-algebraicznym. Pokazujemy również konstrukcję rozkładu zbioru algebraicznego oraz podajemy charakteryzację semi-algebraicznych podzbiorów zbioru algebraicznego.

We define Kuratowski convergence of sets in the general setting of topological space and prove its basic properties. In some cases we make additional assumptions and motivate them with examples.We investigate the existence of a metric and a topology on the family of closed sets in a topological space, which yield the Kuratowski convergence, presenting well–known results in this area. We solve the problem for Hausdorff spaces with the second axiom of countability. Also, we give an example of a space in which there exists a topology on the family of closed sets coinciding with the Kuratowski convergence, but this topology is not metrizable. We give some generalizations of known results on limits of sequences of connected sets and then apply them to semi-algebraic geometry on the real plane. We prove that the limit of a sequence of algebraic sets with a common bound on degrees is semi-algebraic. We also show a construction of a decomposition of algebraic sets and give a characterization of semi-algebraic subsets of an algebraic set.