Eigenvalues and Singular Values of Products of Rectangular Gaussian Random Matrices

We derive exact analytic expressions for the distributions of eigenvalues and singular values for the product of an arbitrary number of independent rectangular Gaussian random matrices in the limit of large matrix dimensions. We show that they both have power–law behavior at zero and determine the corresponding powers. We also propose a heuristic form of finite size corrections to these expressions which very well approximates the distributions for matrices of finite dimensions.

Wyprowadzamy analityczne wyrażenia na rozkład wartości własnych oraz wartości osobliwych dla iloczynu arbitralnej liczby niezależnych prostokątnych Gaussowskich macierzy losowych w granicy nieskończonego rozmiaru macierzy. Pokazujemy, że obydwa zachowują się potęgowo w pobliżu zera i wyznaczamy odpowiednie potęgi. Proponujemy również heurystyczną postać poprawek skończonego rozmiaru, które bardzo dobrze przybliżają rozkłady dla macierzy o skończonych wymiarach.