Lagrange multipliers and their applications

Głównym celem pracy jest przedstawienie pojęcia mnożników Lagrange'a i ich roli w kontekście badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. Pierwsza część pracy obejmuje przypomnienie podstawowych definicji z zakresu analizy matematycznej i algebry liniowej. Przedstawiono także, wraz z dowodem, warunek równoważny na wyznaczanie ekstremów warunkowych z zastosowaniem hesjanu obrzeżonego. Omówiono dalej ekonomiczną interpretację owych mnożników, których praktyczne zastosowanie zaprezentowano na przykładach. Ostatnia część pracy dotyczy uogólnienia metod związanych z mnożnikami Lagrange'a, czego konsekwencją jest wyprowadzenie warunków koniecznych i wystarczających optymalizacji funkcji wielu zmiennych przy zadanych ograniczeniach opisywanych za pomocą równań i nierówności, w tym także warunków Kuhna - Tuckera mających istotne znaczenie w ekonomii.

The main goal of the thesis is to present the notion of Lagrange multipliers and their role in the context of examining conditional extrema of the multivariable function. The first part of the thesis comprises the outline of the basic definitions from the field of calculus and linear algebra. Furthermore, the equivalent condition, as well as the proof, was provided, concerning the indication of conditional extrema by the means of bordered hessian. Then the economic interpretation of these multipliers was discussed, and their practical application was presented on the basis of the examples. The final part of the thesis refers to the generalization of the methods connected with Lagrange multipliers, which results in the introduction of necessary and sufficient conditions for the optimization of the multivariable function in the case of the set restrictions described by the means of equalities and inequalities, including Kuhn-Tucker conditions, which are of considerable significance in economics.