How much about an area shape can be inferred from knowledge of its eigenvalues?

Głównym tematem pracy są wnioski, jakie można wyciągnąć, o kształcie obszaru, na podstawie znajomości wartości własnych dla laplasjanu. Podstawą do napisania niniejszej pracy stał się artykuł Marka Kaca „Can one hear the shape of a drum?”. Praca została podzielona na trzy rozdziały. W pierwszym rozdziale przedstawiono: podstawową teorię operatora Laplace’a dla obszarów w przestrzeni R^n, definicję równania falowego i równania dyfuzji oraz twierdzenie Weyla. W drugim rozdziale sformułowano matematyczny problem postawionego przez Marka Kaca pytania. Następnie przedstawiono heurezę dowodów trzech podstawowych rezultatów dotyczących: pola powierzchni obszaru, długości jego obwodu oraz jego spójności. Na końcu drugiego rozdziału krótko wspomniano o rezultacie Gordona, Webba i Wolperta. W ostatnim rozdziale przedstawiono rozwiązania dwóch przykładów zagadnień brzegowych dla równania Laplace’a.

The main subject of this paper are conclusions one may draw on planar domain's shape relying on eigenvalues of the Laplace operator. This dissertation was based on Mark Kac’s article “Can one hear the shape of a drum?” The paper is divided into three chapters. In the first one, the basic theory of the Laplace operator for areas in space R^n was discussed, as well as the definitions of a wave equation and a diffusion equation and Weyl’s Theorem. In the second chapter, the mathematical problem of the question stated by Mark Kac was constructed; later on, the heuresis of proofs of his main three results was presented, namely: the area, the length of its perimeter and its connectivity. At the end of the second chapter, the result of Gordon, Webb and Wolpert was concisely mentioned. The last chapter discusses solutions of two examples of boundary value problems for the Laplace equation.