Carleson theorem about convergence of Fourier series of continuous function

Praca przedstawia problem zbieżności szeregu Fouriera funkcji ciągłej. Na początku XIX wieku Fourier postawił pytanie czy szereg Fouriera funkcji ciągłej jest do niej zbieżny punktowo dla wszystkich x należących do przedziału [-π, π]?Okazało się, że szereg ten nie musi być zbieżny we wszystkich punktach, gdyż Paul du Bois-Reymond pokazał, że istnieje funkcja ciągła której szereg Fouriera jest rozbieżny w punkcie x=0. Na przestrzeni lat wielu wybitnych matematyków prezentowało swoje wyniki dotyczące zbieżności i rozbieżności szeregów Fouriera. Bardzo ważnym odkryciem było znalezienie przez Kołmogorowa w 1923 roku przykładu funkcji z przestrzeni L^1 [-π,π] takiej, że jej szereg Fouriera jest rozbieżny prawie wszędzie, a trzy lata później pokazał, iż jest rozbieżny wszędzie. Jednak te przykłady nie odpowiadały na pytanie co się dzieje kiedy funkcja jest ciągła. Problem ten został rozstrzygnięty przez Carlesona, w 1966 roku dowiódł twierdzenia, że szereg Fouriera każdej funkcji całkowalnej z kwadratem jest do niej punktowo zbieżny prawie wszędzie. Z tego twierdzenia wynika, że funkcja ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna ma szereg Fouriera zbieżny co najmniej prawie wszędzie.

The paper presents the problem of convergence of the Fourier series of continuous functions. At the beginning of the nineteenth century Fourier raised the question whether the Fourier series of a continuous function is to it converges pointwise for all x belonging to the interval [-π, π]? It was found that this series does not need to be convergent at all points, as Paul du Bois-Reymond showed that there is a continuous function whose Fourier series diverges at x = 0. Over the years, many prominent mathematicians presented their results on the convergence and divergence of Fourier series. A very important discovery was finding Kolmogorov in 1923 example of the function of the L ^ 1 [-π, π] such that its Fourier series diverges almost everywhere, and three years later showed that it is divergent everywhere. However, these examples do not answer to the question of what happens when the function is continuous. This problem was solved by Carleson, in 1966, proved the theorem that the Fourier series of any function integrable with the square is to it converges pointwise almost everywhere. From this theorem it follows that the function bounded and integrable in the sense of Riemann a convergent Fourier series at least almost everywhere