Applications of Groebner bases in Galois theory

Pojęcie bazy Gröbnera zostało wprowadzone w 1965 przez matematyka austriackiego B. Buchbergera w jego pracy doktorskiej, napisanej pod kierunkiem W. Gröbnera, wraz z algorytmem pozwalającym ją uzyskać poprzez rozszerzenie bazy skończonej ideału. Podobne idee pojawiały się także wcześniej, zwłaszcza w pracach matematyków: rosyjskiego N. Günthera (1913) oraz japońskiego H. Hironaki (1964), pozostały jednak niezauważone. Współcześnie bazy Gröbnera znalazły wiele zastosowań w algebrze obliczeniowej, z uwagi na ich efektywność m. in. w rozwiązywaniu układów równań wielomianowych. Głównym celem niniejszej pracy jest przedstawienie podstaw teorii baz Gröbnera jako narzędzia, pozwalającego rozstrzygnąć problem decyzyjnyodwracalności danego odwzorowania wielomianowego. W rozdziale pierwszym omówione zostały podstawowe pojęcia, stanowiące język teorii Buchbergera, a także opracowany przez niego algorytm. Rozdział drugi traktuje o pewnym innym algorytmie, stanowiącym kryterium należenia wielomianu do algebry (ang. algebra membership test) i opartym na algorytmie Buchbergera. Ostatni, trzeci rozdział naświetla głęboki związek, jaki łączy słynną hipotezę jakobianową z różniczkową teorią Galois oraz osadza kryterium należenia do algebry w szerszym kontekście teoretycznym, poprzez zastosowanie go w połączeniu z podanym w pracy [ABH17] tzw. kryterium wrońskianowym do testowania odwracalności odwzorowań wielomianowych.

The notion of a Groebner basis was introduced in 1965 by Austrian mathematician B. Buchberger in his doctoral thesis written under the supervision of W. Groebner, together with an algorithm that allows to obtain it from a finite basis of an ideal. Similar ideas appeard earlier, especially in works of two mathematicians: Russian N. Günther (1913) and Japanese H. Hironaka (1964), however they went unnoticed. Contemporarily Groebner bases are commonly used in computational algebra for the sake of their efficiency, i. a. in solving systems of polynomial equations. The main purpose of this thesis is to give an overview of the basics of theory of Groebner bases and show it as a tool that allows to settle the problem of invertibility of given polynomial map. In the first chapter there was discussed underlying notions which forms the language of Buchberger's theory and also the algorithm developed by him. The second chapter treats of another algorithm which constitutes the criterion for determining algebra membership and which is based on Buchberger's algorithm. The last, third chapter sheds light on the deep connection between the famous jacobian conjecture and differential Galois theory and also puts the algebra membership criterion in a broader theoretical context through applying it together with given in paper [ABH17] wronskian criterion to testing polynomial maps invertibility.