Pricing of swap options in two-dimensional Black-Scholes model

Opcja swap po raz pierwszy pojawiła się w 1978 roku w pracy Williama Margrabe’go. Opcja ta pozwala jej właścicielowi w określonym czasie w przyszłości wymienić jeden instrument finansowy na drugi. W niniejszej pracy wyceniamy opcję wymiany jednej akcji na drugą w dwuwymiarowy model Blacka-Scholesa.W pierwszym rozdziale przypominamy najważniejsze definicje oraz twierdzenia z niezbędne w późniejszych rozdziałach. W rozdziale drugim przedstawiony został klasyczny, jednowymiarowy model Blacka-Scholesa. Udowodnione zostało twierdzenie o istnieniu miary martyngałowej w tym modelu, twierdzenie o braku arbitrażu, replikowalności wszystkich instrumentów pochodnych oraz formuła na wycenę instrumentów w tym modelu. Następnie zaproponowany został prosty, dwuwymiarowy model Blacka-Scholesa, w którym przyrosty cen są od siebie niezależne. Udowodniono analogiczne twierdzenia jak w przypadku modelu klasycznego. Zdefiniowany został także dwuwymiarowy model Blacka-Scholesa, w którym ceny akcji mogą być ze sobą skorelowane. Udowodniono, przy pewnych technicznych założeniach, te same twierdzenia co w modelu prostym.W ostatnim rozdziale udowodniono formuły na wycenę opcji swap w prostym dwuwymiarowym modelu Blacka-Scholesa oraz w modelu z korelacją.

Swap options were initially introduced by William Margrabe in 1978. These type of options allows the holder of the option to exchange one asset for another. In this Master Thesis I prove formulas for the value of the swap option using two-dimensional Black-Scholes model.In the first part, I remind some basics definitions and theorems needed in another parts.In the second part, I present one-dimensional Black-Scholes model. It is proved existence of martingale measure, no-arbitrage theorem, replicability of all derivatives and pricing formula for derivatives.In next part I present simple, two-dimensional Black-Scholes model where prices of two stocks are independent. We prove similar theorems like in one-dimensional model. I also mention two-dimensional Black-Scholes model that allows nonzero correlation between stock prices and prove the same theorems, under stronger assumptions.In the last part I prove formulas for the value of the swap option in both types of model: simple two-dimensional Black-Scholes model and model with correlation.