Praca zawiera własności hamiltonianu oraz lagranżjanu, które prowadzą do udowodnienia słabego rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania Hamiltona-Jacobiego. Następnie poprzez zdefiniowanie rozwiązania lepkościowego, udowodnienie jednoznaczności definicji rozwiązania postawionego zagadnienia oraz wprowadzeniu do teorii sterowania i programowania dynamicznego zostaje udowodnione jednoznaczne lepkościowe rozwiązanie zagadnienia początkowego dla równania Hamiltona-Jacobiego - wzór Hopfa-Laxa.

This bachelor's thesis includes introduction to Hamilton-Jacobi equations. There are definitions and theorems about weak solutions which lead to the proof of existence and uniqueness viscosity solutions - Hopf-Lax formula. I present also the main properties of the Lagrangian and the Hamiltonian. We can also find there connections with the control theory and dynamic programming.