O niezmienniczości wykładnika Łojasiewicza.

Głównym celem tej pracy jest badanie niezmienniczości wykładnika Łojasiewicza. Skupiamy się na kilku nierównościach wprowadzonych przez Łojasiewicza. W pierwszej części tej pracy uzyskujemy wyniki w przestrzeniach metrycznych. Jest udowodnione, że wykładnik separacji regularnej jest niezmiennikiem bi-lipschitzowskim. Dodatkowo pokazujemy związek między separacją regularną wykresu odwzorowania ciągłego a także jego dziedziny oraz nierównością wzrostową Łojasiewicza dla tego odwzorowania. W głównym twierdzeniu rozdziału drugiego dowodzimy niezmienniczości lipschitzowskiej wykładnika Łojasiewicza danego odwzorowania ciągłego spełniającego nierówność wzrostową Łojasiewicza. Nasze dalsze rozważania zacieśniamy do przestrzeni euklidesowych. Rozdział trzeci dotyczy nierówności gradientowej Łojasiewicza dla rzeczywistych oraz zespolonych funkcji analitycznych. Otrzymujemy niezmienniczość wykładnika Łojasiewicza różnego rodzaju w przypadkach rzeczywistym i zespolonym. W ostatnim rozdziale badamy związek między gradientem zespolonym oraz gradientami rzeczywistymi części rzeczywistej oraz urojonej funkcji holomorficznej. Dodatkowo podajemy wzór na wykładnik Łojasiewicza takich funkcji w przypadku nierówności gradientowej Łojasiewicza.

The main aim of this paper is to study the invariance of the Łojasiewicz exponent. We focus on several inequalities due to Łojasiewicz. In the first part of this thesis we obtain results in metric spaces. It is proved that the regular separation exponent is a bi-Lipschitz invariant. Additionally, we show the relation between the regular separation of the graph of a continuous map and its domain as well as the Łojasiewicz growth inequality for this mapping. In the major theorem of the second chapter we prove that the Łojasiewicz exponent of a given continuous map satisfying the Łojasiewicz growth inequality is a Lipschitz invariant. We restrict our further considerations to the setting of Euclidean spaces. The third chapter concerns the Łojasiewicz gradient inequality for real and complex analytic functions. We get the invariance of different type of the Łojasiewicz exponent in real and complex cases. In the last chapter we investigate the relation between the complex gradient and the real gradients of real and imaginary parts of a holomorphic function. In addition, we give a formula for the Łojasiewicz exponent of such functions in the case of the Łojasiewicz gradient iniequality.