Simulation of Stochastic Processes

Niniejsza praca ma na celu stworzenie pomostu pomiędzy wysoce rozwiniętą teorią stochastycznych równań różniczkowych, a ich praktycznym zastosowaniem w różnorodnych dziedzinach. W znaczącej części pracy opisywana jest podstawa teoretyczna i sposób konstrukcji symulacji procesów stochastycznych na podstawie zadanych równań różniczkowych opisujących dane zjawiska. Jednym z elementów pracy jest projekt informatyczny, realizujący w przyjaznej dla użytkownika aplikacji, opisane techniki symulacji procesów stochastycznych. W pracy w pełni przedstawione jest teoretyczne wyprowadzenie mechanizmów symulacji w oparciu o proces Wienera oraz całkę i formułę Ito. Zaprezentowane zostały także dwa przykładowe modele, których rozwiązanie dokładne jest znane. Pierwszym modelem jest geometryczna interpretacja ruchów Browna, a drugim stochastyczna interpretacja logistycznego modelu wzrostu Malthusa.

The major goal of this thesis is to create a bridge between theory of Stochastic Differential Equations, which is very well developed and its application through computer experiments for diverse fields of live. A significant part of this document includes theoretical fundaments of Probability and SDE and also describes tools and methods used to build processes simulation for specific SDE corresponding to some natural events. One of thesis component is application project with user friendly interface, which realizes described methods of stochastic processes simulation. There is also presented whole theoretical path for derive simulation methods based on Wiener process, Integral and Ito Formula. In addition this thesis includes two examples of stochastic models meeting specific SDE, which explicit solution is known. First model is geometrical interpretation of Brownian Motions and second is stochastic interpretation Malthusian logistic population grow model.