Solving a puzzle - a solution of Tarski's circle-squaring problem

Praca ma na celu przedstawienie rozwiązania problemu Tarskiego. Powstała na podstawie artykułu węgierskiego matematyka Miklosa Laczkovicha ”Equidecomposability and discrepancy; a solution of Tarski’s circle-squaring problem“ z 1990 roku. Praca została podzielona na cztery rozdziały. W pierwszym rozdziale przybliżamy tematykę równorozkładalności wielokątów (twierdzenie Bolyai–Gerwiena) i paradoksu Banacha–Tarskiego, zapoznając czytelnika z podstawowymi pojęciami i twierdzeniami. Wspominamy pokrótce o częściowych wynikach związanych z odpowiedzią na problem Tarskiego. Na końcu pierwszego rozdziału wprowadzamy najważniejsze definicje i oznaczenia używane w pracy.Drugi rozdział zaczynamy od wprowadzenia definicji zbioru jednostajnie rozłożonego na płaszczyźnie. Zajmujemy się własnościami kwadratów i sum kwadratów. Pokazujemy dwa istotne twierdzenia: charakteryzację zbioru jednostajnie rozłożonego oraz kryterium, które pozwala sprawdzać warunek na jednostajne rozłożenie zbioru względem kwadratów (zamiast względem każdej dziedziny Jordana o obwodzie większym od pewnej stałej).W rozdziale trzecim udowadniamy kryterium na rónorozkładalność dwóch zbiorów względem translacji, dzięki czemu nie będziemy konstruować podziału figur, a jedynie sprawdzać założenia twierdzenia. Wykorzystujemy je następnie, aby pokazać równorozkładalność względem translacji dwóch ograniczonych zbiorów na płaszczyźnie (o ile ich przekroje są równej dodatniej miary oraz każdy przekrój składa się z co najwyżej n składowych). W pewnym sensie jest to uogólnienie zasady Cavalieriego. Na koniec dowodzimy równorozkładalności względem translacji wielokątów o tym samym polu powierzchni (mocniejsza wersja twierdzenia Bolyai–Gerwiena).Celem czwartego rozdziału (oraz pracy) jest udowodnienie równorozkładalności względem translacji pewnych dziedzin Jordana. Najpierw zajmujemy się oszacowaniem współczynników Fouriera pewnej funkcji zespolonej, co pozwala nam oszacować dyskrepancję specjalnie dobranego zbioru względem podwykresu funkcji identycznościowej, a w konsekwencji prowadzi do twierdzeń właściwych. Na koniec podsumowujemy pracę poprzez zastosowanie odpowiedniego twierdzenia, aby otrzymać równorozkładalność koła i kwadratu oraz przytaczamy powiązany z tym wynik T. Wilsona z 2005 roku.

In this paper we show a solution of Tarski's circle-squaring problem. In 1925 Alfred Tarski asked if it is possible to split a disc (in the plane) into finitely many pieces and reassemble the pieces to get a square. We actually prove more: the reassembly can be done using only translations. In first chapter we present some alike issues, the Bolyai-Gerwien theorem and Banach-Tarski paradox. Next we show some theorems about uniformly spread discrete sets. We have to estimate discrepancy of some sets to prove translation-equidecomposability of any two polygons of equal area. Then we can do it more generally in case of Jordan domains (with some restrictions). This paper is based on Miklos Laczkovich's ”Equidecomposability and discrepancy; a solution of Tarski’s circle-squaring problem“ published in 1990.