Numerical methods for stochastic differential equations

Celem pracy jest wprowadzenie prostych metod numerycznych dla stochastycznych równań różniczkowych, ze szczególnym zwróceniem uwagi na możliwe do popełnienia błędy w ich zastosowaniu.Początek pracy stanowi konstrukcja całki stochastycznej Ito oraz przedstawienie jej modyfikacji, z których najpopularniejsza jest całka Stratonowicza. Na podstawie definicji całki wprowadzone zostało stochastyczne równanie różniczkowe. Zastosowanie równań w modelowaniu zobrazowane zostało na kilku przykładach.Przedstawione metody Eulera-Maruyamy i Milsteina zastosowane zostały do popularnych typów równań. Na ich podstawie pokazano metody porównywania schematów.Finalną część pracy stanowi streszczenie dyskusji nad zasadnością stosowania równań z całką Ito i Stratonowicza. Dla zdefiniowanej klasy metod wykazana została granica, do której zbiegają.

The aim of this thesis is to introduce simple numerical methods for stochastic differential equations. The main attention is paid to possible mistakes which can be made during application of these methods.The thesis begins with the Ito integral construction with presentation of possible modifications, among which the most popular is Stratonovich integral. Based on the integral definition, stochastic differential equation is introduced. Application of such equations is presented based on a few examples.Presented Euler-Maruyama and Milstein schemes are applied to some popular equation types. Based on them, comparison methods are presented.The final part of the thesis summarizes the discussion on different applications of Ito and Stratonovich equations. For a defined class of schemes their limits were proved.