Zsigmondy's Theorem

Niniejsza praca poświęcona została twierdzeniu Zsigmondy’ego, które stanowi użyteczne narzędzie przy rozwiązywaniu problemów z teorii liczb. Przedstawiony tu dowód twierdzenia Zsigmondy’ego bazuje na własnościach wielomianów cyklotomicznych, których konstrukcja, zastosowanie oraz podstawowe własności również zostały omówione w tej pracy.Tytułowe twierdzenie zostało opublikowane przez Richarda Zsigmondy’ego w roku 1892. Zamieszczony w pracy dowód bazuje przede wszystkim na artykule Barta Michelsa z 2014 roku, który z kolei jest oparty na pracy Birkhoffa i Vandiversa.W pierwszej części pracy omówiono pojęcie, konstrukcje oraz przykłady wielomianów cyklotomicznych. W dalszej części przedstawione zostały własności wielomianów cyklotomicznych, których użyto dowodząc twierdzenie Zsigmondy’ego. Trzecia i ostatnia cześć pracy poświęcona została dowodowi tytułowego twierdzenia.

The thesis is about Zsigmondy's theorem, which is an useful tool for various number theory problems. The proof presented in the text uses the properties of cyclotomic polynomials, whose construction and main properties are also described.Richard Zsigmondy published the title theorem in 1892. Our proof of the theorem follows mainly on Bart Michels' article from 2014, which in turn uses Birkhoff and Vandiver's work from 1904.In the first part of the thesis, the construction and examples of cyclotomic polynomials are presented. The next part concerns the properties of cyclotomic polynomials. The last part contains the proof of Zsigmondy's theorem.