Discrete groups of motions

Praca przedstawia pełną klasyfikację jedno- oraz dwuwymiarowychnieciągłych grup izometrii opartą na teorii grup oraz podstawowych pojęciach geometrii.Pierwsza część wprowadza definicje związane z przekształceniami izometrycznymi, układamipunktowymi, sieciami płaskimi oraz pojęciami związanymi z nieciągłymi grupami izometrii.Kolejna omawia nieciągłe grupy odwzorowań o nieograniczonym obszarzetworzenia oraz właściwe dwuwymiarowe grupy krystalograficzne. Jednymi z najważniejszychtwierdzeń jest Twierdzenie Barlowa oraz Twierdzenie Bieberbacha. Rozdział ten zawieratakże charakterystykę, własności i zestawienie spotykanych w literaturze oznaczeńdla każdej grupy. Ostatnia, trzecia część, przytacza przykłady spotykanych w architekturze isztuce ornamentów oraz wzorów odpowiadających poszczególnym grupom symetrii.Ponadto przedstawione są próby przeniesienia tych wzorów do geometrii nieeuklidesowej: hiperbolicznej oraz sferycznej, wraz z teorią tychże modeli. Całość pracy jestzakończona przykładami dekoracji krakowskich budynków oraz kościołów z odpowiednimidla nich grupami symetrii.

Presented work depicts complete classification of one- and two-dimensionaldiscrete groups of motions based on group theory and geometry. First section containsfundamental definitions concerning isometries, lattices and concepts about discrete groups ofmotions. The following part analyses discrete groups of motions withunbounded fundamental domain and exact two-dimensional crystallographic groups. One ofthe most important statements are the Barlow and Bieberbach Theorem. This chapterincludes a characterization, properties and summary of classifications often found inliterature as well. Then examples of patterns and ornaments are presented in architecture andart corresponding to every symmetry group. Furthermore, the last section sets forth the theoryof two non-euclidean models of geometry and hiperbolization of selected wallpaper patternswith samples of spherical variations of these ornaments. The master’s thesis ends withexamples of ornaments found in Krakow’s buildings and churches with interesting groups ofsymmetries.