Definition and Models of Abstract Geometry, Incidence Geometry and Metric Geometry

Celem pracy jest udowodnienie, że płaszczyzna euklidesowa i płaszczyzna hiperboliczna są modelami geometrii abstrakcyjnej, incydencji i liniałowej. W pierwszym i drugim rozdziale zdefiniowane zostały pojęcia: geometrii abstrakcyjnej i geometrii incydencji oraz płaszczyzny euklidesowej i płaszczyzny hiperbolicznej. Ponadto udowodnione zostało, że te płaszczyzny są dobrymi modelami tych geometrii. W pierwszej części rozdziału trzeciego wprowadzone zostało pojęcie funkcji odległości wraz z przykładowymi funkcjami. Te zaś, w drugiej części trzeciego rozdziału, użyto do udowodnienia, że płaszczyzna euklidesowa i hiperboliczna są modelami geometrii liniałowej.

The aim of this thesis is to show that the Euclidean Plane and the Hyperbolic Plane are models of an abstract geometry, an incidence geometry and a metric geometry. In the first and second chapter there are definied therms like: an abstract geometry and an incidence geometry and also the Euclidean Plane and the Hyperbolic Plane. Furthermore, it is proved that these planes are good models of these geometries. In the first part of the third chapter there is definied a distance function and some examples are presented. Next, in the second part of the third chapter they are used to prove that the Euclidean Plane and the Hyperbolic Plane are the models of a metric geometry.