Calogero–Sutherland model and (super-)Virasoro algebra

Celem pracy była analiza modelu Calogero–Sutherlanda i wykazanie jego związku z algebrą(super-)Virasoro. Wprowadzono pojęcie partycji i podano bazy wielomianów symetrycznych,za pomocą których skonstruowano wielomiany Jacka. Pokazano, iż wielomiany Jacka są wek-torami własnymi przekształconego hamiltonianu Calogero–Sutherlanda. Zdefiniowano modułVerma oraz algebrę Virasoro i zapisano hamiltonian za pomocą operatorów ją spełniających. Po-dano algorytm konstrukcji wektorów o najwyższej wadze w module Verma i pokazano, że są onestanami własnymi hamiltonianu. Ponadto zdefiniowano algebrę Neveu–Schwarza (NS) i zapo-stulowano postać „supersymetrycznego” hamiltonianu Calogero–Sutherlanda. Podano rozkładalgebry NS z dodatkowymi operatorami fermionowymi na dwie komutujące algebry Virasoro,co pozwoliło na sformułowanie otwartego problemu badawczego: znalezienie związku pomię-dzy wektorami o najwyższej wadze dla dwóch algebr Virasoro i wektorami o najwyższej wadzedla algebry NS.

The primary concern of this thesis is to analyse Calogero–Sutherland model and to showits connection with (super-)Virasoro algebra. Partitions and symmetric polynomial bases are in-troduced and Jack polynomials are defined. It is proven that Jack polynomials are eigenstatesof modified Calogero–Sutherland hamiltonian. Verma module and Virasoro algebra are definedand we rewrite hamiltonian in operators forming representation of this algebra. It is shown howto construct highest weight vectors (hwv) in Verma module and we prove they are hamiltonian’seigenstates. Neveu–Schwarz (NS) algebra was also defined and the form of ”supersymmetric”Calogero–Sutherland hamiltonian was proposed. We show how to construct two sets of operatorsforming two mutually commuting Virasoro algebras using operators forming NS algebra (withadditional fermionic operators). In the end we formulate a new research problem: what is the re-lation between hwv-s in these two Verma modules on Virasoro algebras and hwv-s in moduleon NS algebra (with additional fermionic operators)?