Inequalities in problems from Mathematical Olympiads after 2000

Praca magisterska składa się z dwóch rozdziałów.Pierwszy rozdział jest podzielony na trzy podrozdziały, z czego każdy z nich poświęcony jest na wprowadzenie teoretyczne - podrozdziały dotyczą nierówności Jensena, nierówności Cauchy'ego-Schwarza oraz nierówności Muirheada. W tych podrozdziałach wprowadzone są podstawowe definicje, dowody tych nierówności oraz twierdzenia ich dotyczące.Drugi rozdział poświęcony jest analizie zadań z polskiej Olimpiady Matematycznej oraz Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej, które można rozwiązać z wykorzystaniem nierówności omówionych w pierwszym rozdziale. Przedstawione tam są treści zadań, ich przykładowe rozwiązania oraz do większości z nich - analizy rozwiązań. W tym rozdziale rozważamy też inne metody rozwiązania podanych zadań oraz - jeżeli istnieje więcej sposobów - czy wykorzystanie tych nierówności ułatwia rozwiązanie. Analizujemy również trudność załączonych dowodów oraz to, czy wiedza nabyta na podstawie książek Lwa Kurlandczyka jest do ich przeprowadzenia wystarczająca.

Master's thesis consists of two chapters.The first chapter is divided into three sections. Each of them presents a theoretical introduction concerning three inequalities: Jensen's Inequality, the Cauchy-Schwarz Inequality and the Muirhead Inequality. In these subsections the basic definitions are introduced, the proofs of the above mentioned inequalities and their applications are given.In the second chapter we analyse some problems from the Polish Mathematical Olympiad and the International Mathematical Olympiad that can be solved with the use of the inequalities discussed in the first chapter. We present the solutions of presented problems and in many cases we analyse these solutions. We also give some other solutions of these problems. In the case where different solutions are presented, we analyse whether the use of the above mentioned inequalities simplify the solutions. We also analyse the difficulty of the included proofs and the question if the knowledge acquired from Lev Kurlândčik's books is sufficient for solving those problems.