Benford's law

Praca ma na celu prezentację teoretyczną prawa Benforda oraz jego zastosowanie w zagadnieniach praktycznych. Na początek przedstawiona zostaje historia odkryć naukowych związanych z prawem Benforda. Co ciekawe, jako pierwszy tę zależność odkrył Simon Newcomb w 1881 roku, natomiast nie zapisał się tak mocno na kartach historii i twierdzenie zostało nazwane po inżynierze i fizyku, który niezależnie opisał je ponad 50 lat później. Eksperyment Franka Benforda polegał na zebraniu 20229 liczb opisujących naturę lub stałe fizyczne. Pomimo tego, że w swojej publikacji podał wzór na rozkład cyfr znaczących, nie udało mu się przeprowadzić dowodu. Dokonał tego po dwunastu latach matematyk Theodore Hill. Następnie w pracy zostają szczegółowo omówione funkcja mantysy oraz logarytmiczne rozkłady cyfr znaczących oraz mantysy. Podajemy definicję prawa Benforda jak również przedstawiamy twierdzenie Newcomba. Praca zawiera dalej test dopasowania pewnych standardowych rozkładów prawdopodobieństwa (m.in jednostajnego lub wykładniczego) do prawa Benforda oraz sposoby, dzięki którym można uzyskać zgodność rozkładu z prawem Benforda. W kolejnym rozdziale zaprezentowane jest twierdzenie Hilla, opisana sigma-algebra mantys, wytłumaczona niezmienniczość ze względu na skalę i bazę oraz ich związek z prawem Benforda. Przechodząc do zagadnień praktycznych przytaczamy sytuacje, w których prawo Benforda zostało wykorzystane do wykrycia oszustw finansowych (przykład Jamesa Nelsona z 1992 roku), księgowych (firma Enron 2001 rok) oraz wyborczych (wybory prezydenckie w Iranie w 2009 roku). Na koniec zostaje przedstawiona własna analiza wyników wyborów samorządowych przeprowadzonych w Polsce w 2018 roku. Do analizy został wybrany akurat ten zbiór danych, ponieważ są to niemal najnowsze dostępne dane wyborcze (poza wyborami do europarlamentu) i nie ma jeszcze takiej analizy w literaturze. W celu sprawdzenia czy te dane spełniają teoretyczny rozkład Benforda zostały wykonane w programie R testy statystyczne oraz wykresy.

The thesis contains a theoretical presentation of Benford's law as well as its applications. Firstly it presents the genesis of scientific discoveries related to Benford's law. Interestingly, the first one to discover these dependencies was Simon Newcomb, however his paper remained unnoticed and the theorem was named after the engineer and physicist, who independently described it more than a fifty years later. Frank Benford's experiment consisted of collecting 20229 numbers describing nature or physical constants. Despite the fact that in his publication he gave a formula for the distribution of the leading digits, he failed to prove it. This has been done twelve years later by the mathematician Theodore Hill. Next, the thesis contains a detailed description of the mantissa function and logarithmic distributions of significant digits and mantissa. It presents then Benford's law and Newcomb's theorem. It includes also a test of fitting some standard probability distributions (e.g. uniform or exponential) with the Benford law and ways to construct the probability distribution compatible with Benford's law. The next chapter contains Hill's theorem, the description of mantissa algebra the explanation of the scale- and base-invariance and their connection with the Benford law. Getting to the applications, we present the situations in which Benford's law was useful to detect financial (example of James Nelson from 1992), accounting (Enron 2001) and election fraud (the presidential election in Iran in 2009). Finally, we provide our own analysis of local government elections held in Poland in 2018. The reason why this particular set of data has been chosen for the analysis is that these are the latest available electoral data (apart from the elections to the European Parliament) and there is no such analysis in the literature yet. In order to check whether these data meet the theoretical Benford distribution, some statistical tests and graphs were made in the R program.