Spaces with a semi-dot product

Praca rozpoczyna się od podania definicji semi-iloczynu skalarnego i jego podstawowych własności. Jednym z tych własności jest nierówność Cauchy'ego-Schwarza. W dalszej części podane zostały definicja semi-normy, jej związek z semi-iloczynem skalarnym oraz pewne jej własności wraz z przykładem zastosowania pojęcia semi-normy. Kolejnymi pojęciami w pracy są gładkość i semi-gładkość przestrzeni. Zostały też przedstawione pewne warunki równoważne na gładkość przestrzeni i na inne właściwości przestrzeni, takie jak ścisła wypukłość. Praca kończy się rozdziałem dotyczącym pojęcia semi-ortogonalności, w którym, oprócz definicji, zostało podane twierdzeniem związanym z tym pojęciem wraz z dowodem i wnioskiem.

The work begins with giving a definition of a semi-dot product and its basic properties. One of these properties is the Cauchy-Schwarz inequality. Later on, the definition of a semi-norm, its relationship with a semi-dot product and some of its properties are given, along with an example of the application of a semi-norm. Other concepts in the work are smoothness and semi-smoothness of space. Some equivalent conditions for the smoothness of space and for other properties of space, such as strict convexity, have also been presented. The work ends with a chapter on the concept of semi-orthogonality, in which, in addition to the definition, it was given by a theorem related to this concept, together with a proof and a conclusion.