Aspects of Hopf algebra symmetries in quantum field theory

Algebry Hopfa pojawiają się w naturalny sposób w kwantowych teoriach pola. W niniejszej pracy przedstawiono kilka z ich zastosowań, głównie w procesie renormalizacji. Ukazano związki struktur występujących w kwantowej teorii pola z algebrami Hopfa skonstruowanymi w oparciu o ukorzenione drzewa planarne. Ponadto wskazano obecne kierunki rozwoju teorii bazujących na tych obiektach, a także przedstawiono niektóre z otrzymanych w ostatnich latach wyników. Niniejsza praca ma charakter przeglądowy. Ukazano najistotniejsze, według autora, zastosowania symetrii algebr Hopfa w kwantowej teorii pola. Wybór ten jest bardzo subiektywny, a ponadto dziedzina ta jest ciągle rozwijającą się, więc nie sposób wybrać w sposób jednoznaczny najważniejszych zastosowań.

Hopf algebras appear in natural way in quantum field theories. In this paper one can find examples of applications of Hopf algebras, mainly in the renormalization process. Relations between structures that appear in quantum field theories and Hopf algebras obtained from rooted plane trees are described. Moreover, current trends and results obtained in the resent years are presented. This paper is a review which contains the most important applications of Hopf algebra symmetries in quantum field theory. The choice of the presented examples is subjective. Furthermore, this branch of mathematical physics is constantly developing, so the most important applications can not be unambiguously chosen.