Tunelowanie metodą Tama-Dancoffa

Efekt tunelowania jest najbardziej popularnym zjawiskiem fizyki kwantowej będąc zarazem obecnym w nowoczesnych kwantowych teoriach pola. Jednocześnie najważniejsze aspekty tego efektu obserwuje się w bardzo prostych modelach – kilkuwymiarowych mechanikach kwantowych z wysoką barierą potencjału. Jednak nawet tak proste układy nie mogą być rozwiązane analitycznie i niezbędne jest zastosowanie przybliżeń. Tunelowanie jest silnie powiązane z rozszczepieniem energii stanu podstawowego, który jest zdegenerowany w granicy klasycznej.W tej pracy używamy dwóch metod do oszacowania rozszczepienia energii w jednowymiarowych mechanikach kwantowych. W przybliżeniu semiklasycznym rozszczepienie jest otrzymane w granicy małej stałej sprzężenia. Drugi sposób, metoda Tamma-Dancoffa daje niezwykle dokładne wyniki dla skończonej stałej sprzężenia. Porównując oba podejścia jesteśmy w stanie potwierdzić wyniki przybliżenia semiklasycznego i wyznaczyć zakres jego stosowalności. Rozważamy kilka potencjałów: podwójna studnia w potencjale anharmonicznym, potencjał kosinusowy i potencjał kosinusowy w przestrzeni okresowej ze skończoną liczbą minimów. Badamy także nie generyczny problem potrójnej studni w potencjale anharmonicznym.

The tunneling effect is the most popular phenomenon of quantum physics and is present in modern physical theories. Still, the most important features of this effect are already present in toy models - low dimensional quantum mechanics with high potential barriers. Even these simple systems cannot be solved analytically and approximations have to be made. Tunneling is closely related to splitting of the ground state energy which is degenerate in the classical limit.In this thesis we use two methods to estimate the energy splitting in one dimensional quantum mechanics. In semi-classical approximation the splitting is calculated in the weak coupling limit. The other approach, Tamm-Dancoff method gives very precise numerical results for finite coupling. Comparing these two approaches we are able to confirm results of the semi-classical approximation and determine range of its applicability. Several potentials are considered: anharmonic double well, cosine potential and cosine potential in periodic space with finite number of minima. We also address a non-generic problem of anharmonic triple well potential.