Project of a software performing visualization of Riemannian manifolds by immersion in Euclidean space

Celem pracy jest pokazanie, że dla pewnej klasy przypadków, rozwiązanie problemu zanurzenia rozmaitości riemannowskiej w przestrzeni euklidesowej (teoretycznie bez ograniczenia na wymiar rozmaitości, czy wymiar przestrzeni, w której wykonywane jest zanurzenie), może być przybliżone numerycznie przy użyciu metody spektralnej oraz globalnej minimalizacji błędu, gdzie minimalizowanym funkcjonałem jest wielomian czwartego stopnia wielu zmiennych. W pierwszej części pracy przytoczone zostają kluczowe definicje, podany zostaje formalny opis użytej metody spektralnej, metody globalnej minimalizacji błędu oraz wykonane zostają obliczenia niezbędne do zastosowania wspomnianej metody dla problemu zanurzenia. W drugiej części zawarty jest opis aplikacji implementującej przedstawiony algorytm dla szczególnego przypadku zanurzenia dwuwymiarowej powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej i wyniki testów.

The purpose of this work is to show that for particular class of cases, solution to the problem of immersion of Riemannian manifolds in Euclidean space (theoretically without restriction with regards to dimension of the manifold or the space in which the immersion is performed), can be approximated numerically using spectral method and global error minimization method, where objective function is fourth degree multivariate polynomial. In the first part, key definitions are presented, formal descriptions of used spectral method and global error minimization method are given and calculations necessary to apply these methods for immersion problem are performed. In the second part, the description of a software application implementing the presented algorithm for special case of immersion of two-dimensional surfaces in three-dimensional Euclidean space is given and test results are presented.