Kategorie modelowe, które nie są równoważne w sensie Quillena

Wprowadzamy pojęcia kategorii modelowej i kategorii homotopijnej związanej z kategorią modelową, po czym przedstawiamy istotne przykłady kategorii modelowych. Wprowadzamy pojęcie równoważności Quillena, omawiamy jego znaczenie i wskazujemy różnice między pojęciem równoważności Quillena a równoważności kategorii. W szczególności wskazujemy jak równoważność Quillena zachowuje się przy przypisaniu (∞, 1)-kategorii kategoriom modelowym. W oparciu o pracę Duggera i Shipleya wskazujemy dwie kategorie modelowe o równoważnych kategoriach homotopijnych, które nie są równoważne w sensie Quillena. Pokazujemy, że kategorie homotopijne tych dwóch kategorii modelowych są równoważne jako kategorie, uzupełniając brakujące szczegóły w pracy Duggera i Shipleya oraz wskazujemy jak pokazać, że te dwie kategorie nie są równoważne w sensie Quillena.

We introduce the notion of the model category and the homotopy category associated to a model category, followed by relevant examples of model categories. We introduce the notion of Quillen equivalence, discuss its importance and draw a contrast between Quillen equivalence and categorical equivalence. In particular, we highlight how a Quillen equivalence behaves under association of (∞, 1)-categories to model categories. We introduce two model categories that have equivalent homotopy categories but fail to be Quillen equivalent, based on a paper by Dugger and Shipley. We show that these two model categories have equivalent homotopy categories, filling in some missing details in the paper by Dugger and Shipley, and give an overview of how to show that the two model categories are not Quillen equivalent.