Polynomial Inequalities for Derivatives of Polynomials

Niniejsza praca koncentruje się na szczegółowej analizie kilku klasycznychnierówności dotyczących pochodnych wielomianów, takich jak nierównościSzegö, Bernsteina, Schura i Markowa, a także wyniku Dubinera. Nierównościte odgrywają kluczową rolę w teorii aproksymacji oraz w analizie funkcji ana-litycznych, dostarczając oszacowań norm pochodnych wielomianów w zależ-ności od ich stopnia oraz zachowania na przedziale [-1,1]. Praca zawiera pełne dowody każdej z nierówności, dyskusje dotyczące ich optymalności oraz przy-kłady wielomianów, w szczególności wielomianów Czebyszewa, dla którychosiągana jest równość. Szczególną uwagę poświęcono własnościom ekstremal-nym tych wielomianów. W ostatnim rozdziale zaprezentowano twierdzenieDubinera, które oferuje geometryczną interpretację tych nierówności poprzezspecjalnie zdefiniowaną metrykę w przestrzeni funkcji ciągłych. Celem niniej-szej pracy jest podkreślenie ukrytych powiązań między tymi wynikami orazukazanie ich znaczenia.

This thesis focuses on a detailed analysis of several classical inequalitiesconcerning derivatives of polynomials such as the Szegö, Bernstein, Schurand Markov inequalities as well as Dubiner’s result. These inequalities play acrucial role in approximation theory and analysis of analytic functions provi-ding bounds on the norms of polynomial derivatives in terms of their degreeand behavior on the interval [-1, 1]. The work includes complete proofs ofeach inequality, discussions on their optimality and examples of polynomialsmost notably Chebyshev polynomials for which equality is attained. Particu-lar attention is given to the extremal properties of these polynomials. In thefinal chapter, Dubiner’s theorem is presented which offers a geometric inter-pretation of these inequalities through a specially defined metric on the spaceof continuous functions. The aim of this thesis is to highlight the underlyingconnections between these results and to demonstrate their importance.