Itô and Stratonovich stochastic integrals - properties and application in option pricing

W pracy można znaleźć wprowadzenie do tematyki całek stochastycznych określonych względem procesu Wienera. W pierwszym rozdziale został omówiony proces Wienera oraz jego własności - m.in nieograniczone wahanie, które sprawia, że całka Riemanna - Stieltjesa określona względem procesu Wienera nie istnieje. W kolejnym rozdziale zdefiniowana została całka Itô oraz zostały określone jej podstawowe własności.W rozdziale trzecim zdefiniowano szeroko określoną rodzinę całek stochastycznych, której reprezentantami są całki Ito i Stratonowicza. Opisano całkę Stratonowicza oraz kilka jej własności.W rozdziale czwartym zostały przedstawione wielowymiarowe zależności między całką Ito i całką Stratonowicza.Na koniec, w rozdziale piątym przypomniany został klasyczny model Blacka-Scholesa, wyprowadzony przy pomocy całki Ito. Następnie podjęto próbę wyprowadzenia tego samego równania różniczkowego przy pomocy całki Stratonowicza. Gdy okazało się to niemożliwe, różnice zostały wyjaśnione oraz ostatecznie, otrzymano ten sam wzór na cenę opcji call przy użyciu całki Stratonowicza, przy odpowiednich założeniach.

This master thesis contains an introduction to the topic of stochastic integrals with respect to the Brownian motion. In section one the reader can find a definition of the Wiener process and its most important properties. Next chapter focus on the Ito integral - its definition and basic properties. The Ito lemma has been introduced. Section three consists of two parts: the definition of the family of stochastic integrals (with index lambda) and the subsection dedicated to the Stratonovich integral.In section four, the relationship between the two considered stochastic integrals have been presented.In the last section the reader can find the derivation of the classic Black - Scholes model with the usage of Ito integral and then, after the required assumptions, with the usage of Stratonovich integral.