Interest rate models

Celem pracy „Modele stóp procentowych” było przedstawienie najważniejszych modeli stóp procentowych w czasie ciągłym. Modelowanie struktury terminowej stóp procentowych jest zagadnieniem bardzo ważnym i trudnym w finansach. Powstało oraz jest stosowanych w praktyce wiele modeli, a najbardziej zaawansowanymi są te, których dynamika stóp procentowych została opisana za pomocą stochastycznego równania różniczkowego.Praca została podzielona na cztery części. Pierwsza z nich ma charakter wprowadzenia teoretycznego, przypomnienia oraz zdefiniowania pojęć, które stanowią podstawę dalszych rozważań. Druga część zawiera opis kroków na drzewach binarnych oraz twierdzenie na brak arbitrażu w modelu. Część trzecia w całości poświęcona jest przedstawieniu sześciu najbardziej znanych modeli krótkoterminowej stopy procentowej w czasie ciągłym, takich jak Model Mertona, Vasicka czy HJM. Każdy model zawiera opis wraz z równaniem opisującym dynamikę stopy procentowej. Ostatnią, czwartą częścią pracy jest szczegółowe omówienie dyskretyzacji modelu Vasicka w czasie ciągłym, w którym istotą jest wyprowadzenie wzoru na proces stopy krótkiej, oszacowanie całki dla stochastycznej stopy dyskontowej, oszacowanie wartości oczekiwanej tej stopy, a na koniec przedstawienie wzoru na cenę obligacji zerokuponowej w czasie dyskretnym. Zawarto również wykres przedstawiający symulację stopy krótkiej zadaną wzorem w czasie dyskretnym. Do wykonania obliczeń oraz wykresów użyto programu Excel.

The purpose of the thesis “Interest rate models” was to indicate the most important interest rate models in continuous time. Modeling term structure of interest rates is very important and difficult issue in finances. There have been made and are used in practice many models but those, that are the most advanced have interest rates’ dynamic described by stochastic differential equation.The thesis was divided into four parts. The first of them is a theoretical background. The character of the section is to remind and define terms and theorems which form the basis of further considerations. The second part is consisted of description of steps on binary tree and the no-arbitrage theorem. The whole third part centres around six the most important short rate models in continuous time, such as the Merton model, the Vasicek model and the HJM model. Every model has a description and equation which describes the dynamic of the short rate. The last essential part is devoted to discretization of the Vasicek model in continuous time, in which the essence is finding a model for the short rate process in discrete time, evaluation the integral for stochastic discount rate, evaluation the expectation and in the end finding a formula for zero-coupon bond price. In this part is also a graph which shows a simulation the short rate formula in discrete time. Excel was used for calculations and graphs.