Analysis of oscillations in a double potential well with asymptotically vanishing friction

W pracy analizowano równanie opisujące oscylacje w podwójnej studni potencjału z zależnym od czasu i asymptotycznie zanikającym ujemnym tarciem (antytarciem):$$\ddot{u}-\ee^{-\alpha t}\dot{u}+u^p-A^2u=0,\ \ u=u(t),\ A,\alpha>0,,p=3,5,\ldots $$ Pokazano, że równanie to posiada rozwiązania , które dla mają lokalnych minimów i maksimów po czym dążą (wykładniczo) do zera. Rozwiązania te opisują cząstkę wykonującą oscylacji wokół jednego z minimów potencjału i zmierzającą do punktu siodłowego. Sformułowano i uzasadniono hipotezę, że gdy rozwiązań takich istnieje wiele (prawdopodobnie nieskończenie wiele), zaś gdy istnieje tylko jedno: .

We investigate the equation of motion of a particle in a double-well potential with time-dependent asymptotically vanishing negative friction (antifriction):$$\ddot{u}-\ee^{-\alpha t}\dot{u}+u^p-A^2u=0,\ \ u=u(t),\ A,\alpha>0,\,p=3,5,\ldots $$ We show that this equation has solutions which for are a sequence of pulses and decay exponentially as . These solutions describe a particle which after making oscillations in one of the wells tends asymptotically to the saddle point. We formulate and justify the hypothesis that if there are many (possibly infinitely many) such solutions, otherwise () there is only one: .