Apollonius circle in normed spaces

Celem niniejszej pracy jest rozważenie okręgu Apoloniusza, czyli zbioru punktów, których stosunek odległości od dwóch danych punktów jest stały i różny od jeden, w przestrzeniach unormowanych. W głównej części pracy skupię się na rozważaniach dotyczących okręgów (lub ogólniej, zbiorów) Apoloniusza w przestrzeniach unormowanych. Głównym celem będzie udowodnienie, iż w przestrzeniach unitarnych dany zbiór jest sferą, co nie musi być prawdą dla każdej przestrzeni unormowanej. Na początku przedstawię analityczny sposób wyprowadzenia wzorów na środek i promień okręgu Apoloniusza w przypadku normy pochodzącej od iloczynu skalarnego, by potem przedstawić oraz udowodnić twierdzenie Fickena wprowadzające niezbędną charakteryzację norm unitarnych. Najważniejszym punktem pracy jest twierdzenie mówiące o tym, że przestrzeń liniowa jest unitarna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy okrąg Apoloniusza jest sferą. Przedstawiony dowód wspomnianego twierdzenia jest modyfikacją i uzupełnieniem dowodu, który znaleźć można w pracy Danielicha.

The aim of this Master Thesis is to consider Apolonius circle, that is as the set of points P that have a given ratio of distances to two given points, where the ratio is different from one, in normed spaces.The main part of the work will focus on considerations of circles (or, more generally, sets) of Apollonius in normed spaces. The main objective is to prove that a given set in inner product space is a sphere, which is not necessarily true for every normed space. At the beggining I will present formulas for the center and radius of Apollonius circle in normed spaces where the norm is induced by inner product. Next I will present and prove the Ficken theorem introducing the necessary characterization of inner product spaces.The most important point the work is the theorem that linear space is a inner product space if and only if each Apollonius circle is a sphere. The proof of that theorem is a modification and complement of proof, which may be found in Danielich work.