The Brylinski Hipothesis for symplectic manifolds

Tematem pracy jest Hipoteza Brylińskiego mówiąca o istnieniu form symplektycznie harmonicznych na rozmaitości symplektycznej. Omówione zostaną podstawy teorii Hodge'a na rozmaitościach riemannowskich, operatory działające na przestrzeni gładkich form różniczkowych na rozmaitości tworzące reprezentację grupy SL(2,K)xK^2 i wynik Mathieu charakteryzujący przestrzeń wszystkich klas kohomologii zawierających formy harmoniczne jako maksymalny SL(2,K)-podmoduł w przestrzeni wszystkich klas kohomologii. W pracy zostaną przedstawione własne kontrprzykłady do Hipotezy Brylińskiego wśród 4-wymiarowych symplektycznych algebr Liego.

The topic of this paper is the Brylinski Hipothesis stating the existence of symplectically harmonic forms on a symplectic manifold. We will discusz the basics of Hodge theory for riemannian manifolds, operators acting on the space of smooth differential forms in the manifold forming a representation of SL(2,K) group and a resul of Mathieu describing the space of all cohomology classes of a manifold which contain a harmonic representative as a maximal SL(2)-submodule of the space of all cohomology classes of the manifold. The main result is of the paper are counterexamples to the Brylinski Hipothesis among 4-dimensional symplectic Lie algebras.