Ramsey Theory on graphs and integers

Głównym celem tej pracy jest pokazanie użycia Teorii Ramseya w dwóch gałęziach matematyki: teorii grafów i teorii liczb (liczby całkowite).Na początku wyprowadzone są dwa fundamentalne twierdzenia Ramseya - dla przypadków skończonego oraz skończonego - oraz liczba Ramseya. Następnie jest ona szacowana za pomocą kilku ograniczeń od góry i od dołu oraz przedstawione są przykłady dokładnego wyliczenia trzech liczb Ramseya.W następnym rozdziale jest opisane zastosowanie teorii Ramseya do liczb całkowitych. Pierwszym z nich jest twierdzenie Schura w dwóch postaciach: słabej i silnej, a także wprowadzona zostaje specjalna liczba - liczba Schura, która później zostaje oszacowana.Następnie zostaje wyprowadzenie twierdzenie van der Waerdena dla ciągów monochromatycznych, które w swojej treści wprowadza liczbę van der Waerdena. Po udowodnieniu twierdzenia jest pokazane, że jest ono prawdziwe jedynie w przypadku skończonym.Kolejny rozdział zajmuje się twierdzeniem Erdosa-Szekeresa, znanym również jako Problem Szczęśliwego Zakończenia, oraz zostaje wyprowadzona hipoteza czekająca na rozstrzygnięcie.Na zakończenie wypowiedziane są trzy aktualne problemy z teorii Ramseya, z których jeden został niedawno rozwiązany.

The aim of this paper is to bring together two areas in which Ramsey Theory is used. These areas are: graph theory and number theory (integers).In the first section two fundamental Ramsey theorems (for finite and infinite cases) are proved and the Ramsey Number is defined. Then the Ramsey Number is estimated, both from the top and from the bottom and there are three examples showing how to calculate this Number.The second section contains Ramsey Theory applicated on integers. First of all, there are two cases (strong and weak) of Schur Theorem. Then the Schur Number is defined and estimaed .Next section is connected with van der Waerden theorem for monochromatic sequences and with the van der Waerden Number. It is also shown that this theorem is not true in an infinite case. The last section deals with Erdos-Szekeres Theorem, which is also knows as Happy End Problem. There is also a hypothesis which still is not solved.In conclusion three current problems connected with Ramsey Theory are reviewed. One of them was already been solved.