Topology and graph theory - Hex game board, Jordan curve theorem, properties of a torus, dimension of Euclidean spaces

Celem niniejszej pracy jest przedstawienie dowodów kilku znanych faktów z dziedziny topologii przy pomocy teorii grafów. Głównym narzędziem będzie zdefiniowany przez Davida Gale'a graf zwany n-wymiarową planszą do gry w Hex oraz jego zanurzenie w przestrzeni euklidesowej. Omówione zostaną pewne własności krzywych na płaszczyźnie oraz udowodnione zostanie twierdzenie o krzywej Jordana. Przy pomocy nakryć uniwersalnych możliwe będzie zastosowanie niektórych uzyskanych wyników do badania torusów, policzona zostanie kategoria Lusternika-Sznirelmanna torusa n-wymiarowego. Ponadto wykazane zostanie nieistnienie homeomorfizmu pomiędzy przestrzeniami euklidesowymi różnego wymiaru.

The aim of this thesis is to prove some well-known topological theorems using graph theory. The main tool will be a graph, introduced by David Gale, called n-dimensional Hex game board and its embedding in Euclidean space. We will investigate some properties of the plain curves and prove the Jordan curve theorem. Using universal covers we will be able to calculate the Lusternik-Schnirelmann category of the n-dimensional torus. Finally, we will show that two Euclidean spaces are homeomorphic if and only if they have the same dimension (as vector spaces).