Macierze różnoczasowych korelacji w podejściu zmiennych swobodnych

Jedną z dziedzin, w których teoria macierzy przypadkowych znalazła zastosowanie jest statystyka wielu zmiennych. Hipotezą zerową dla macierzy korelacji jest zespół statystyczny Wisharta, który został dogłębnie zbadany. Jego uogólnienie, to jest macierze różnoczasowych korelacji, w szczególności gęstość spektralna i pewien korelator wektorów własnych, są głównym tematem badań przedstawionych w pracy. Przy użyciu techniki diagramów Feynmana wyprowadzone jest równanie algebraiczne na kwaternionową funkcję Greene'a. Analizując jego rozwiązania, rozwiązuję historyczną niezgodność wyników dla macierzy z jednostkowym przesunięciem w czasie, a także znajduję rozwiązania przypadków, które jeszcze nie były badane w literaturze.

Multivariate statistics is one of the fields where Random Matrix Theory has been successfully applied. A null hypothesis of the cross-correlation matrix is known as the Wishart ensemble and was thoroughly studied. Its generalization, that is the lagged correlation matrix (or auto-cross-correlation matrix), in particular the mean spectral density and a certain correlator between eigenvectors, are the main subjects of research presented in this thesis. Using the Feynman diagram technique, I derive the algebraic equation for the quaternion Green's function, which encodes all one-point spectral properties of this ensemble. Studying its solutions, I resolve the historical discord between the results obtained for unit lagged matrices, and solve more general instances that has not been treated in the literature.