The mean value theorems and their application in different fields of mathematics.

Celem pracy będzie przedstawienie twierdzeń o wartości średniejoraz ich zastosowań w różnych dziedzinach matematyki, a także pewnychuogólnień tych twierdzeń.W pierwszym rozdziale zdefiniowane zostały podstawowe pojęcia analizy matematycznej, których wprowadzenie niezbędne jest aby wypowiedziećtwierdzenia o wartości średniej. Następnie zostały przedstawionewraz z dowodami, kolejno: twierdzenie Rolle’a, twierdzenie Cauchy’egooraz twierdzenie Lagrange’a, a także wniosek z twierdzenia Lagrange’adotyczący monotoniczności funkcji.Kolejny podpunkt dotyczy zastosowania tych nierówności w teorii aproksymacji,w szczególności w dowodach twierdzeń Łozińskiego i Jacksona.Osobny podpunkt dotyczący teorii aproksymacji związany jest z przykładamipodprzestrzeni Haara, gdzie również stosowane są twierdzeniao wartości średniej. Ostatnim podpunkt tego rozdziału dotyczy wersjitwierdzeń Rolle’a i Lagrange’a dla pochodnych jednostronnych oraz ichużycia do dowodu własności czterech punktów.W rozdziale trzecim przedstawiono uogólnienia twierdzeń o warto-ści średniej na przypadek przestrzeni unormowanej wraz z dowodami. Wkolejnych dwóch podpunktach znajdują się ich zastosowania w dowodachwzoru Taylora oraz twierdzenia o różniczkowalności wyraz po wyrazie.Chcąc zwrócić uwagę czytelnika na główny cel niniejszej pracy okre-ślenie twierdzenia o wartości średniej oraz fragmenty, w których sąone stosowane zostały napisane pogrubioną czcionką.

The paper reviews the mean value theorems: Rolle's, Cauchy's and Lagrange's with their proofs. There are shown some particular applications in different fields of mathematics, such as analysis and approximation theory.