The use of the invariance principle in solving problems from mathematical competitions

Tematem pracy jest metoda niezmienników, którą można rozwiązać wiele zadań pojawiających się na różnego rodzaju konkursach i olimpiadach. Metoda ta polega na szukaniu własności, która nie zmienia się podczas wykonywania jakiegoś procesu. W rozdziale pierwszym znajdują się zadania wraz z rozwiązaniami z konkursu zadaniowego, który ukazywał się w piśmie „Matematyka – czasopismo dla nauczycieli”. Następnie zaprezentowane zostały zadania z Olimpiady Matematycznej Juniorów, które można rozwiązać metodą niezmienników. Rozdział trzeci zawiera ciekawe zadania z różnych innych źródeł. Wszystkie zadania są przedstawione z rozwiązaniami, niektóre z uogólnieniami. Na końcu pracy możemy znaleźć kilka przykładów metody niezmienników w matematyce wyższej.

The paper concerns the invariance principle which is used for solving several problems of different kind which appear at mathematical competitions and contests. In this method we search a property that does not change during some transformation. First, there are presented some problems that were published in the magazine "Matematyka - czasopismo dla nauczycieli" which can be solved with the use of the invariance principle. Then, there are presented problems of similar kind that were given to pupils participating in "Olimpiada Matematyczna Juniorów" (Junior Mathematical Olympiad). The third chapter contains some problems taken from other sources, i.e. problem books and magazines. All problems are presented with the solutions, some of them are generalized. Finally, several examples of the use of invariance principle in higher mathematics are presented.