Fan's lemma or combinatorial equivalent of Borsuk-Ulam theorem

Twierdzenie Brouwera i lemat Spernera są znaną topologiczno-kombinatoryczną parą. Dla twierdzenia Borsuka-Ulama również istnieje kombinatoryczny odpowiednik - zwykle uznaje się za niego lemat Tuckera. Mimo iż twierdzenie Borsuka-Ulama implikuje twierdzenie Brouwera, nie jest znany kombinatoryczny dowód lematu Spernera, mający za punkt startowy lemat Tuckera. Fan w swojej pracy z 1952 r. proponuje uogólnienie lematu Tuckera. Nyman i Su w pracy z 2013 r. dowodzą, że lemat Fana dla przypadku m = n + 1 jest równoważny twierdzeniu Borsuka-Ulama, a także wywodzą z niego bezpośrednio lemat Spernera. Argumentują w ten sposób, że „lemat N + 1 Fana” jest bardziej naturalnym kombinatorycznym odpowiednikiem twierdzenia Borsuka-Ulama. W niniejszej pracy przedstawimy dowód lematu Fana oraz wyprowadzenie twierdzenia Borsuka-Ulama z lematu Fana.

The Brouwer theorem and the Sperner's lemma form a well-known pair of equivalent theorems - the former is a topological result, and the latter is combinatorial. The Borsuk-Ulam theorem also has a combinatorial equivalent - many consider as it the Tucker's lemma. Despite that the Borsuk-Ulam theorem implies the Brouwer theorem, a pure combinatorial proof of the Sperner's lemma, starting from Tucker's lemma, is not known. Fan in his paper published in 1952 introduces generalization of Tucker's lemma. Nyman and Su in the paper published in 2013 prove that the Fan's lemma in the case m = n + 1 is equivalent to the Borsuk-Ulam theorem. They also show that it directly implies the Sperner's lemma. Thus they argue that "Fan's N+1 lemma" is a more natural analogue of the Borsuk-Ulam theorem. In this paper we present and prove the Fan's lemma, and present the proof that it implies the Borsuk-Ulam theorem.