Geometria tensor triangularna

Przy założeniu znajomości podstaw teorii kategorii i algebry homologicznej rozpoczynamy, wprowadzając kategorie preaddytywne i addytywne oraz ich podstawowe własności. To pozwala na zaprezentowanie kategorii striangulowanych oraz podstawowych narzędzi związanych z tą teorią, takich jak homotopie morfizmów między trójkątami. Poświęcamy w całości jeden rozdział pracy pojęciu lokalizacji Verdiera kategorii striangulowanej. Następnie przechodzimy do tematu kategorii tensor striangulowanych i spektrum Balmera związanego z takimi kategoriami. Omawiamy pewne podstawowe własności tych struktur. Ponadto opisujemy ważną technikę uzupełnienia idempotentnego, pochodzącą od Karoubiego, a także istotny warunek, który nałożymy na rozważane kategorie — sztywność. Na koniec omawiamy techniki klejenia dla sztywnych idempotentnie zupełnych kategorii tensor striangulowanych — ciąg Mayera-Vietorisa i jego konsekwencje.

Assuming the knowledge of basic category theory and homological algebra, we begin with preadditive and additive categories and their basic properties. This allows us to introduce triangulated categories and basic tools associated with that theory, such as homotopies of morphisms between triangles. One whole chapter is devoted to Verdier local-ization of a triangulated category. Next, we move to the topic of tensor triangulated categories and the Balmer spectrum associated with such category. Some basic properties of these structures are discussed. Furthermore, we describe the important technique of idempotent completion, due to Karoubi, and the essential condition that we are going to impose on such categories — rigidity. Finally, we discuss gluing techniques that one can use in a rigid Karoubian tensor triangulated category — Mayer-Vietoris sequence and its consequences.