Dostęp do publikacji jest możliwy w Archiwum UJ

Praca przedstawia wyniki badan nad skalarnymi zaburzeniami trójwymiarowej czasoprzestrzeni anty-de Sittera. Trzy jest wymiarem krytycznym dla równan Einsteina i teoria grawitacji w tej liczbie wymiarów ma pewne nieoczekiwane własnosci odrózniajace ja od teorii w wyzszych wymiarach. Jedna z tych własnosci jest istnienie skonczonego progu energii na powstanie czarnej dziury. W zwiazku w tym mozemy podzielic zaburzenia na trzy grupy: zaburzenia powyzej tego progu, które moga utworzyc czarna dziure, zaburzenia ponizej, które nie moga utworzyc czarnej dziury oraz zaburzenia lezace dokładnie na progu. Zaburzenia ponizej progu nie moga utworzyc czarnej dziury i mozliwe sa dwa scenariusze: globalna regularnosc lub powstawanie nagiej osobliwosci. Wyniki przedstawione w tej pracy i opublikowane w [39] pokazuja, ze podprogowe zaburzenia pozostaja globalnie regularne, bo ich promien analitycznosci dazy do zera eksponencjalnie, ale nigdy go nie osiaga. Ponadto, wyzsze normy Soboleva rosna eksponencjalnie, co swiadczy o tym, ze rozwiazania rozwijaja małe skale przestrzenne i stopniowo traca gładkosc w wyniku słabej turbulencji. Metody uzyte do tych badan sa kombinacja metod numerycznych i analitycznych. W odróznieniu od wyzych wymiarów, dla wystarczajaco małych zaburzen słaba turbulencja nie moze zostac przerwana przez powstanie czarnej dziury. Z drugiej strony, symulacje numeryczne pokazuja, ze zaburzenia powyzej progu zawsze kolapsuja do czarnej dziury BTZ. Ich dynamika zdaje sie byc podobna do dynamiki zaburzen czasoprzestrzeni anty-de Sittera w wyzszej liczbie wymiarów, gdzie postawiono hipoteze, ze generyczne dane zawsze kolapsuja po odpowiednio długim czasie. Problem krytycznego kolapsu w trójwymiarowej czasoprzestrzeni anty-de Sittera był badany w pracach [49, 50, 51], jednak, wyniki tam przedstawione nie sa rozstrzygajace. W pracy omówiono powyzsze wyniki i zaprezentowano wyniki numerycznych symulacji zaburzen znajdujacych sie na progu na powstanie czarnej dziury, które potwierdzaja czesciowo wyniki z pracy [49]. Rozwiazanie krytyczne jest samopodobne oraz zaobserwowano skalowanie masy zgodne z prawem potegowym, które nie zgadza sie ze skalowaniem skalara krzywizny badanym w [49]. Samopodobne rozwiazanie opisujace rozwiazanie krytyczne moze byc skonstruowane analitycznie, co równiez zostało omówione. Jednak taki opis moze byc tylko w przyblizeniu poprawny, bo obecnosc stałej kosmologicznej łamie niezmienniczosc skalowania. Ponadto, analiza stabilnosci tego rozwiazania nie jest rozstrzygajaca i nie zgadza sie z wynikami numerycznymi. Z tych powodów problem krytycznego kolapsu w trójwymiarowej czasoprzestrzeni anty-de Sittera pozostaje otwarty.

This thesis presents results of studies of scalar perturbations of three-dimensional Anti-de Sitter spacetime. From the PDE viewpoint three is the critical dimension for the Einstein equations. A consequence of this fact is the existence of a finite energy threshold for black hole formation in the presence of a negative cosmological constant. Therefore, perturbations can be divided into three groups: perturbations above the threshold, perturbations below it and perturbations lying at the threshold. With a mixture of analytical spectral methods and numerical methods, it is shown that small perturbations, below the threshold, remain globally regular, but develop finer spatial scales and gradually lose smoothness due to the weak turbulence. This process can go forever only in three dimensions, because for sufficiently small perturbations it cannot be cut off by a black hole formation. On the other hand, numerical simulations give evidence that perturbations above the threshold for black hole formation collapse to a black hole as in higher dimensional case. When the collapse occurs the mass of a resulting black hole approaches the mass of the spacetime and the geometry outside the horizon approaches the BTZ black hole. Studies of the critical behavior at the threshold for black hole formation confirms and extends previous results. Results obtained in numerical simulations suggest that the critical solution is self-similar and exhibits a mass scaling power law. The self-similar solution describing the critical solution can be found analytically after neglecting the cosmological constant. On the other hand, its presence is crucial for the gravitational collapse in the three-dimensional case. Therefore, this description can be only approximately correct. An attempt to construct asymptotically self-similar solution is presented but results are not conclusive and this problem remains open.