Dynamiczna funkcja dzeta i pierwiastki endomorfizmów torusa

Funkcja dzeta układu dynamicznego jest zdefiniowana jako wykładnicza funkcja tworząca ciągu zliczającego liczbę punktów okresowych o danym okresie. Rozważamy konkretną klasę układów dynamicznych – endomorfizmy torusa, zadane przez macierze całkowitoliczbowe. Przedstawiamy dwie charakteryzacje macierzy indukujących układy o tej samej funkcji dzeta. Badamy również układy, w których liczba punktów okresowych jest pierwiastkiem z liczby punktów okresowych danego endomorfizmu torusa. Przy założeniu, że wielomian charakterystyczny macierzy zadającej endomorfizm jest nierozkładalny, pokażemy, że może się to zdarzyć jedynie wtedy, gdy stopień pierwiastka wynosi 2, a wielomian charakterystyczny jest palindromiczny. Dla torusów wymiaru co najwyżej 4 przedstawiamy pełną charakteryzacje endomorfizmów dopuszczających istnienie powyższego układu.

The dynamical zeta function of a dynamical system is defined as the exponential generating function of the sequence counting the number of periodic points of a given period. We consider a particular class of dynamical systems, namely, toral endomorphisms, induced by integer matrices. We provide a characterization of pairs of matrices inducing systems with the same dynamical zeta function. We also study dynamical systems such that the number of periodic points is a root of the number of periodic points of a given toral endomorphism. Assuming that the characteristic polynomial of a matrix inducing the endomorphism is irreducible, we show that such a situation can occur only if the degree of the root is equal to 2 and the polynomial is reciprocal. For tori of dimension at most 4, we provide a full characterization of endomorphisms such that a dynamical system like the above does exist.