Weak convergence of probability measures

Praca została poświęcona zagadnieniu słabej zbieżności miar probabilistycznych. Pierwszy rozdział przybliża najbardziej elementarne pojęcia takie jak słaba zbieżność, regularność czy jędrność. Ponadto, przedstawione zostaje kilka fundamentalnych twierdzeń, w tym Lemat Dynkina-Sierpińskiego. W rozdziale drugim, przywołane zostają pojęcia rodziny determinującej zbieżność oraz półpierścienia zbiorów. Istotą rozdziału jest wprowadzenie szeregu narzędzi ułatwiających badanie słabej zbieżności. Kolejny fragment pracy poświęcony został zmiennej losowej. Od tego momentu, równolegle z językiem słabej zbieżności miar probabilistycznych, funkcjonuje oparty o niego język zbieżności wedle rozkładu (zbieżności stochastycznej). Okazuje się być on niekiedy znacznie wygodniejszy w zapisie oraz bardziej przejrzysty w rozumowaniu. Rozdział czwarty wprowadza pojęcie relatywnej zwartości oraz przedstawia jedno z najważniejszych twierdzeń wykorzystywanych w konstrukcji miary Wienera, Twierdzenie Prochorowa. Ponadto, zaprezentowane zostaje Twierdzenie o reprezentacjach Skorochoda, topologia słabej zbieżności oraz metryka Prochorowa. Następny rozdział przenosi rozważania w przestrzeń funkcji ciągłych. Przywołane zostaje pojęcie modułu ciągłości. Ostatni rozdział rozpoczyna wprowadzenie miary Wienera. Istotny punkt pracy stanowi konstrukcja dowodząca jej istnienie. W kolejnych podrozdziałach prowadzone są rozważania nad charakterystyką miary Wienera, między innymi zostaje przywołane Twierdzenie Donskera.

The paper is devoted to the weak convergence of probability measures. The first chapter introduces the most fundamental concepts such as weak convergence of measures, tightness and regularity. Also, there are introduced few theorems, in particular the pi-lambda theorem. The second chapter introduces the concept of convergence determining class and semiring of sets. The main point of the part of the paper is to present tools that are used to assess the weak convergence. The following chapter introduces the random variable. Since this point, parallel to the language of convergence in measures, the language of random variables is being used. The next chapter presents the concept of relative compactness, in particular the Prohorov Theorem. Also, there are introduced the concept of the topology of weak convergence of probability measures, Skorohod Theorem and Prohorov's metric.The following chapter shifts considerations to the space of continuous functions. The last chapter presents the Wiener measure along with its construction and characterisation.